<div class="portada"> $$ \chi^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$ # Distribución Chi cuadrada </div> <br> ## Mario Rodríguez<br>David Rodríguez<br>Miroslava Sandria<br>Emmanuel Rosas<br>José Adrián Rodríguez

<div class="portada" id="indice"> # Indice - <a href="#titulo_introduccion">Introducción</a> - <a href="#titulo_estadodelarte">Estado del Arte</a> - <a href="#titulo_desarrollo">Desarrollo</a> - <a href="#titulo_aplicaciones">Aplicaciones</a> - <a href="#titulo_conclusiones">Conclusiones y perspectivas</a> - <a href="#titulo_referencias">Referencias bibliográficas</a> </div>

<div class="portada" id="titulo_introduccion"> # Introducción <div>

<h1 id="introduccion">Introducción</h1> La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua que modela el tiempo hasta que ocurren $k$ eventos en un proceso de Poisson, donde $k$ es un parámetro que representa el número de eventos esperados y $\theta$ indica la tasa o intervalo de tiempo promedio entre eventos. Se usa en contextos como la duración de espera en filas, fallos de sistemas y en inferencias bayesianas. Es flexible y puede tomar diferentes formas dependiendo de $k$: cuando $k = 1$, es una distribución exponencial, y cuando $k$ es grande, se aproxima a una distribución normal. <blockquote> La función de densidad de probabilidad de la distribución gamma para un valor aleatorio $ X $ es: $$ f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} $$ donde: - $ x > 0 $ es el valor aleatorio, - $ k $ es el parámetro de forma (número esperado de eventos), - $ \theta $ es el parámetro de escala (intervalo promedio entre eventos), - $ \Gamma(k) $ es la función gamma, que generaliza el factorial para números reales. </blockquote>

# La distribución chi-cuadrada Es una herramienta que se usa en estadística para analizar datos y ver si algo que observamos en una muestra es lo que realmente esperaríamos, o si hay diferencias significativas. Esta distribución se basa en sumar los valores elevados al cuadrado de varias variables que siguen una distribución normal (es decir, una distribución de campana, donde la media es 0 y la dispersión es uniforme). <blockquote> Algunos usos comunes de la chi-cuadrada incluyen: **1. Pruebas de ajuste**: para comprobar si los datos observados se parecen a una distribución específica que esperábamos. **2. Pruebas de independencia**: para averiguar si dos categorías están relacionadas o no. **3. Pruebas de comparación de variabilidad**: para ver si la variación en distintos grupos es similar. </blockquote> **Ejemplo:** Imaginemos que tiras un dado muchas veces y quieres saber si es justo (es decir, si cada número tiene la misma probabilidad de salir). Para ello, puedes contar cuántas veces sale cada número y comparar con la cantidad que debería salir en promedio. Al aplicar la prueba chi-cuadrada, si obtienes un resultado alto, esto indicaría que hay una diferencia importante y que el dado probablemente no sea justo.

# La distribución chi-cuadrada <br> está relacionada con la distribución gamma. <div style="text-align:center;"> La distribución chi-cuadrada es un caso especial de la distribución gamma. </div> - Si una variable aleatoria $ X $ tiene una distribución gamma con parámetros $ k = \frac{\nu}{2} $ y $ \theta = 2 $, donde $ \nu $ es un número entero positivo, entonces $ X $ sigue una distribución chi-cuadrada con $ \nu $ grados de libertad. <blockquote> La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria $ Y $ con distribución chi-cuadrada y $ \nu $ grados de libertad es: $$ f(y; \nu) = \frac{y^{\frac{\nu}{2} - 1} e^{-\frac{y}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} $$ donde: - $ y > 0 $ es el valor aleatorio, - $ \nu $ es el número de grados de libertad (equivalente a $ 2k $ en la distribución gamma), - $ \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) $ es la función gamma evaluada en $ \frac{\nu}{2} $. </blockquote>

# Ejemplo Supongamos que tenemos una muestra de 10 datos que sigue una distribución normal, y queremos verificar si la varianza de esta muestra es igual a una varianza teórica $ \sigma^2 = 4 $. ***Paso 1: Calcular la varianza muestral*** Imaginemos que la varianza de nuestra muestra es $ s^2 = 6 $. ***Paso 2: Calcular el estadístico chi-cuadrada*** Para hacer esta prueba, usamos la siguiente fórmula del estadístico chi-cuadrada: <blockquote> $$ \chi^2 = \frac{(n - 1) \cdot s^2}{\sigma^2} $$ donde: - $ n $ es el tamaño de la muestra (en este caso, \( n = 10 \)), - $ s^2 $ es la varianza muestral, - $ \sigma^2 $ es la varianza teórica. </blockquote>

# Sustituyendo los valores <div style="text-align:center;">Usamos los valores que tenemos:</div> $$ \chi^2 = \frac{(10 - 1) \cdot 6}{4} = \frac{9 \cdot 6}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 $$ <blockquote> ***Interpretación*** El valor $ \chi^2 = 13.5 $ puede compararse con el valor crítico de la distribución chi-cuadrada con $ n - 1 = 9 $ grados de libertad y un nivel de significancia, por ejemplo, $ \alpha = 0.05 $. Si $ 13.5 $ es mayor que el valor crítico, podríamos rechazar la hipótesis de que la varianza de la muestra es igual a $ 4 $, sugiriendo que la variabilidad en los datos es significativamente diferente de la esperada. </blockquote>

# Comparación de la distribución gamma con la chi cuadrada <img src="static/codigo.png" style="width: 75%;">

# Comparación de la distribución gamma con la chi cuadrada <blockquote> <img src="static/grafica.png"> </blockquote>

<div class="portada" id="titulo_estadodelarte"> # Estado del Arte <div>

<h1 id="EstadodelArte">Estado del Arte</h1>  Karl Pearson en 1900, desarrolló esta técnica para evaluar la bondad de ajuste en distribuciones de frecuencias observadas en comparación con las frecuencias esperadas bajo un modelo teórico. Pearson fue pionero en el uso de métodos estadísticos para problemas biológicos y sociales, y su creación de la distribución Chi-cuadrada fue fundamental para formalizar el análisis de datos categóricos.

 Ronald Fisher fue un estadístico contemporáneo que influyó en su desarrollo, en especial al formalizar el uso de pruebas de hipótesis y la interpretación de los resultados de Chi-cuadrada en la inferencia estadística.

# Desarrollos Teóricos Posteriores * La distribución Chi-cuadrada también está relacionada con el trabajo de Pierre-Simon Laplace y Carl Friedrich Gauss sobre la distribución normal. * La distribución de Chi-cuadrada fue posteriormente extendida para analizar la independencia en tablas de contingencia, donde se evalúa si dos variables categóricas son independientes entre sí. * Se realizaron desarrollos teóricos para entender el comportamiento de la distribución Chi-cuadrada en muestras pequeñas y en muestras grandes.

# Actualidad La investigación actual sobre la distribución Chi-cuadrada se concentra en el desarrollo de métodos más robustos y flexibles para datos modernos. La distribución de Chi-cuadrada, desde sus orígenes con Pearson hasta el presente, sigue siendo una herramienta fundamental en la estadística. Aunque ha evolucionado para adaptarse a nuevas áreas y necesidades, su base matemática y su interpretación en la inferencia estadística siguen siendo relevantes.

<div class="portada" id="titulo_desarrollo"> # Desarrollo <div>

<h1 id="desarrollo">Desarrollo</h1> <blockquote> **Definición** Si $Z_1$, $Z_2$, ..., $Z_n$ son variables aleatorias normales estándar independientes, entonces $X$, definido por $$ X = Z_1^2 + Z_2^2 + ... + Z_n^2 \quad\quad\quad\quad (1) $$ se dice que tiene una distribución chi-cuadrada con $n$ grados de libertad ($\chi_n^2$). [1] </blockquote> - La distribución chi-cuadrado tiene un solo parámetro llamado **grados de libertad (df)**, que influye en la forma, el centro y la dispersión de la distribución. [2] - Recordemos que los estadísticos $Z$ los construimos como [2]: $$ \frac{\text{valor estimado} - \text{valor nulo}}{\text{SE del valor estimado}} $$ 1. Sheldon M. Ross (2014). Introduction to probabilíty and statistics for engineers and scientists fith edition 2. David D., Mine C., Christopher D. (2019). OpenIntro Statistics. Fourth Edition

# Ejercicio 1 Supongamos que estamos intentando localizar un objetivo en un espacio tridimensional, y que los errores de las tres coordenadas (en metros) del punto elegido son variables aleatorias normales independientes con media 0 y desviación estándar 2. Encuentra la probabilidad de que la distancia entre el punto elegido y el objetivo exceda los 3 metros. [1] Si denotamos a $D$ como la distancia entre el punto elegido y el objetivo, entonces: $$ D^2 = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \quad\quad\quad\quad (3) $$ donde $X_i$ es el error de la i-ésima coordenada. Y $Z_i = X_i/2$, entonces: $$ P(D^2 > 3^2) = P \left(2^2 Z_1^2 + 2^2 Z_2^2 + 2^2 Z_3^2> 3^2 \right) \quad\quad (4) $$ $$ P(D^2 > 3^2) = P(Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 > \frac{3^2}{2^2}) = P(\chi_3^2 > 2.25) = 0.522 \quad\quad (5) $$

# Código 

# Prueba chi-cuadrado para una tabla unidireccional <blockquote> **Definición** Debemos evaluar si hay evidencia convincente de que un conjunto de conteos observados $O_1, \ldots, O_k$ en $k$ categorías son diferentes de lo que podría esperarse bajo una hipótesis nula. Si cada conteo esperado es al menos 5 y la hipótesis nula es verdadera, entonces la estadística de prueba a continuación sigue una distribución chi-cuadrado con $k - 1$ grados de libertad: $$ \chi^2 = \frac{(O_1 - E_1)^2}{E_1} + \ldots + \frac{(O_k - E_k)^2}{E_k} \quad\quad\quad\quad (3) $$ El valor p se encuentra al observar la cola superior de esta distribución chi-cuadrado. Consideramos la cola superior porque los valores más grandes de $\chi^2$ proporcionarían una mayor evidencia en contra de la hipótesis nula. [2] </blockquote>

# Prueba chi-cuadrado para una tabla unidireccional <br> **Ejemplo de Tabla unidireccional:** | **Grupo étnico** | **Blanca** | **Negra** | **Hispana** | **Otra** | **Total** | |-----------------------|------------|-----------|-------------|----------|-----------| | **Datos observados** | 205 | 26 | 25 | 19 | 275 | | **Conteos esperados** | 198 | 19.25 | 33 | 24.75 | 275 | Composición real de los jurados dada la encuesta y composición esperada de los jurados dado el porcentaje de la población por grupo étnico. # Ejercicio 2 Supongamos que estamos jugando piedra papel o tijeras y para tu proyecto de la clase de estadística, quieres evaluar si los jugadores eligen entre estas tres opciones (Piedra, papel o tijeras) al azar, o si ciertas opciones son preferidas sobre otras. Le pides a dos amigos que jueguen piedra, papel o tijera y cuenten la cantidad de veces que se elige cada opción. Usa estos datos para evaluar si los jugadores eligen entre estas tres opciones de forma aleatoria, o si ciertas opciones son preferidas sobre otras. [2]

- Hipótesis nula ($H_0$): Las elecciones entre piedra, papel y tijeras son igualmente probables (es decir, los jugadores eligen al azar). - Hipótesis alternativa ($H_A$): Las elecciones entre piedra, papel y tijeras no son igualmente probables (es decir, los jugadores favorecen ciertas opciones) | **Elección** | **Piedra** | **Papel** | **Tijeras** | **Total** | |-----------------------|------------|-----------|-------------|----------| | **Datos observados** | 43 | 21 | 35 | 99 | | **Conteos esperados** | 33 | 33 | 33 | 99 | $$ \chi^2 = \frac{(43 - 33)^2}{33} + \frac{(21 - 33)^2}{33} + \frac{(35 - 33)^2}{33} = \frac{100 + 144 + 4}{33} = 7.5151 $$ grados de libertad = $3-1$ $$P(\chi_2^2 > 7.5151) = 0.023$$ Este valor es menor que $0.05$, que corresponde a un nivel de significancia del 5%, por lo que RECHAZAMOS la hipotesis nula.

# Código 

# Ejercicio 3 ## Ejemplo de uso de la prueba de chi-cuadrado <blockquote> **Situación:** Un investigador desea determinar si un dado de seis caras es justo, es decir, si cada cara tiene la misma probabilidad de aparecer al lanzarlo. Para esto, el investigador lanza el dado 60 veces y registra el número de veces que aparece cada cara. Los resultados observados son: <br> - Cara 1: 8 veces - Cara 2: 12 veces - Cara 3: 9 veces - Cara 4: 11 veces - Cara 5: 10 veces - Cara 6: 10 veces <br><br> </blockquote>

# Paso 1: Planteamiento de las hipótesis - **Hipótesis nula (H₀):** El dado es justo; todas las caras tienen la misma probabilidad de aparición (1/6). - **Hipótesis alternativa (H₁):** El dado no es justo; al menos una cara tiene una probabilidad diferente. <br><br> # Paso 2: Cálculo de las frecuencias esperadas <div style="text-align:center;">Si el dado es justo, la frecuencia esperada para cada cara es: </div> <blockquote> $$ \text{Frecuencia esperada} = \text{Número total de lanzamientos} = 60 \times \frac{1}{6} = 10 $$ </blockquote>

# Paso 3: Cálculo del estadístico chi-cuadrado <blockquote> <div style="text-align:center;">El estadístico chi-cuadrado se calcula mediante:</div> $$ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$ </blockquote> donde: $O_i$ es la frecuencia observada y $E_i$ es la frecuencia esperada. Calculamos para cada cara: $$\text{Cara 1: } \frac{(8 - 10)^2}{10} = 0.4$$ $$\text{Cara 2: } \frac{(12 - 10)^2}{10} = 0.4$$ $$\text{Cara 3: } \frac{(9 - 10)^2}{10} = 0.1$$

$$\text{Cara 4: } \frac{(11 - 10)^2}{10} = 0.1$$ $$\text{Cara 5: } \frac{(10 - 10)^2}{10} = 0$$ $$\text{Cara 6: } \frac{(10 - 10)^2}{10} = 0$$ <br><br> <blockquote> $$ \text{Y la suma de todos los valores: } \chi^2 = 0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1.0 $$ </blockquote>

# Paso 4: Determinación del valor crítico Seleccionamos un nivel de significancia $\alpha = 0.05$. Los grados de libertad son: <blockquote> $$ \text{Grados de libertad} = \text{Número de categorías} - 1 = 6 - 1 = 5 $$ </blockquote> Consultamos la tabla de distribución chi-cuadrado para 5 grados de libertad al nivel de significancia seleccionado: <blockquote> $$ \chi^2_{\text{crítico}} (0.05, 5) = 11.07 $$ </blockquote>

Ttabla de valores críticos de la distribución **chi-cuadrado (χ²)** para diferentes niveles de significancia y grados de libertad: <blockquote> <table> <tr> <th>Grados de libertad (df)</th> <th>α = 0.10</th> <th>α = 0.05</th> <th>α = 0.01</th> </tr> <tr> <td>1</td> <td>2.71</td> <td>3.84</td> <td>6.63</td> </tr> <tr> <td>2</td> <td>4.61</td> <td>5.99</td> <td>9.21</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>6.25</td> <td>7.81</td> <td>11.34</td> </tr> <tr> <td>4</td> <td>7.78</td> <td>9.49</td> <td>13.28</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>9.24</td> <td><strong>11.07</strong></td> <td>15.09</td> </tr> <tr> <td>6</td> <td>10.64</td> <td>12.59</td> <td>16.81</td> </tr> <tr> <td>7</td> <td>12.02</td> <td>14.07</td> <td>18.48</td> </tr> <tr> <td>8</td> <td>13.36</td> <td>15.51</td> <td>20.09</td> </tr> <tr> <td>9</td> <td>14.68</td> <td>16.92</td> <td>21.67</td> </tr> <tr> <td>10</td> <td>15.99</td> <td>18.31</td> <td>23.21</td> </tr> </table> </blockquote>

# Paso 5: Toma de decisión Comparando el valor calculado con el crítico: Como <blockquote> $$ \chi_{\text{calculado}}^2 = 1.0 < \chi_{\text{crítico}}^2 = 11.07 $$ </blockquote> no rechazamos la hipótesis nula. # Conclusión <blockquote> No hay evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis de que el dado es justo al nivel de significancia del 5%. </blockquote>

<div class="portada" id="titulo_aplicaciones"> # Aplicaciones <div>

<h1 id="Aplicaciones"> Aplicaciones </h1> Aplicaciones de la Distribución Chi-Cuadrada La distribución chi-cuadrada es una herramienta fundamental en estadística inferencial, utilizada ampliamente para evaluar la adecuación de modelos y probar hipótesis sobre la relación entre variables. A diferencia de otras distribuciones que modelan fenómenos específicos, como la distribución normal o la poisson, la chi-cuadrada actúa como una herramienta de verificación estadística. A continuación, se detallan sus aplicaciones más comunes y los campos donde resultan especialmente útiles:

# 1. **Prueba de Bondad de Ajuste** La prueba de bondad de ajuste con la distribución chi-cuadrada se utiliza para evaluar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución teórica específica, como una distribución normal, binomial o uniforme. Esta prueba es especialmente útil en situaciones donde necesitamos verificar la validez de un modelo de distribución sobre un conjunto de datos. (Diez, Barr & Rundel, 2015) * **Funcionamiento**: Se comparan las frecuencias observadas en los datos con las frecuencias esperadas bajo la distribución teórica. Si las discrepancias son grandes, la prueba permite concluir que los datos no se ajustan a la distribución teórica. * **Campos de aplicación**: Esta prueba es ampliamente usada en biología para verificar si la distribución de ciertos rasgos en una población sigue un modelo mendeliano. También es común en marketing, donde se prueba si la distribución de preferencias de los consumidores se ajusta a un patrón uniforme o esperado.

# 2. **Prueba de Independencia en Tablas de Contingencia** La prueba de independencia es una de las aplicaciones más comunes de la distribución chi-cuadrada y se utiliza para evaluar si existe una relación entre dos variables categóricas. Este tipo de prueba es valiosa para estudios donde se examinan asociaciones o dependencias entre diferentes factores. (Diez, Barr & Rundel, 2015) * **Funcionamiento**: En una tabla de contingencia, que muestra las frecuencias de observaciones en diferentes categorías, la prueba chi-cuadrada permite evaluar si las frecuencias observadas en cada combinación de categorías difieren significativamente de lo que se esperaría si las variables fueran independientes. * **Campos de aplicación**: Esta prueba suele usarse en campos como las ciencias sociales y epidemiología. Por ejemplo, se utiliza para evaluar si hay una asociación entre el género y la preferencia por un tipo de producto, o para investigar si existe relación entre el hábito de fumar y la incidencia de una enfermedad específica.

# 3. **Intervalos de Confianza para la Varianza de una Población Normal** En ciertos casos, la distribución chi-cuadrada se emplea para construir intervalos de confianza para la varianza de una población normal, lo cual resulta útil en el control y monitoreo de calidad. (Walpole, Myers, Myers, & Ye, 2012) * **Funcionamiento:** Utilizando una muestra de una población que sigue una distribución normal, se puede calcular un intervalo de confianza para la varianza poblacional basándose en la chi-cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la muestra y su media. * **Campos de aplicación:** Esta aplicación es clave en la industria manufacturera, donde es esencial mantener el control de la variabilidad de los procesos de producción. En áreas como la ingeniería de calidad, los intervalos de confianza para la varianza permiten determinar si la variabilidad en un proceso se mantiene dentro de los límites aceptables.

# 4. **Pruebas de Homogeneidad** Esta prueba se utiliza para evaluar si diferentes poblaciones tienen la misma distribución de alguna característica. La estadística chi-cuadrada permite determinar si las proporciones de diferentes categorías en múltiples muestras son homogéneas o si presentan diferencias significativas. (Walpole, Myers, Myers, & Ye, 2012) * **Funcionamiento**: Se compara la distribución de frecuencias en varias muestras y se evalúa si las diferencias observadas en las categorías son consistentes con la hipótesis de homogeneidad. * **Campos de aplicación:** Esta prueba se usa en estudios de mercado para comparar comportamientos de consumo en diferentes segmentos de población, y en ciencias sociales para analizar si distintas comunidades presentan distribuciones similares de variables como nivel educativo, preferencia política o consumo de medios.

<div class="portada" id="titulo_conclusiones"> # Conclusiones y perspectivas <div>

# Conclusiones <blockquote> <span style="font-weight:bold; color:#42affa;">1. Importancia Estadística:</span> La distribución Chi-cuadrada es fundamental en estadística para pruebas de hipótesis, especialmente en la prueba de bondad de ajuste y pruebas de independencia. Su relevancia se observa en la amplia aplicación para verificar modelos estadísticos y analizar relaciones entre variables. <span style="font-weight:bold; color:#42affa;">2. Versatilidad de Aplicaciones:</span> Se utiliza en diferentes campos, desde la biología hasta el marketing, facilitando el análisis de datos categóricos y la evaluación de la independencia en tablas de contingencia. <span style="font-weight:bold; color:#42affa;">3. Fundamento Teórico y Evolución:</span> Iniciada por Karl Pearson, la distribución Chi-cuadrada ha sido refinada para satisfacer los requisitos de análisis de datos en contextos modernos. Su robustez se ha demostrado en análisis de muestras tanto grandes como pequeñas, consolidando su utilidad en investigaciones estadísticas actuales. </blockquote>

# Perspectivas <blockquote> <span style="font-weight:bold; color:#42affa;">1. Mejoras en Robustez y Flexibilidad:</span> La investigación continua apunta a desarrollar versiones más robustas de la prueba Chi-cuadrada para manejar datos complejos y modernos, adaptándose a cambios en las metodologías de análisis de datos y la creciente necesidad de métodos estadísticos avanzados. <span style="font-weight:bold; color:#42affa;">2. Aplicaciones en Ciencia de Datos y Machine Learning:</span> La prueba de Chi-cuadrada es especialmente relevante en el preprocesamiento de datos para selección de características, donde se usa para identificar variables significativas en grandes conjuntos de datos. <span style="font-weight:bold; color:#42affa;">3. Extensión a Nuevas Áreas:</span> La estadística inferencial, apoyada en distribuciones como la Chi-cuadrada, continúa expandiéndose a nuevas áreas como la ingeniería y las ciencias sociales, impulsando análisis más detallados y específicos. </blockquote>

<div class="portada" id="titulo_referencias"> # Referencias bibliográficas <div>

# Referencias bibliográficas <blockquote> Pearson, E. S., & Kendall, M. G. (1970). *Studies in the History of Statistics and Probability*. Griffin. Feller, W. (1968). *An Introduction to Probability Theory and Its Applications*. John Wiley & Sons. Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2012). *Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias* (9.ª ed.). Pearson Educación. Diez, D. M., Barr, C. D., & Rundel, M. (2015). *OpenIntro Statistics* (3.ª ed.). OpenIntro. <br> </blockquote>